Question

（2012•南平模拟）如图，有一块含30°的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且OB=3

3

．
（1）若双曲线的一个分支恰好经过点A，求双曲线的解析式；
（2）若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A′，试求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

分析：（1）根据tan30°=

AB

3 3

，求出AB，进而求出OA，得出A的坐标，设过A的双曲线的解析式是y=

k

x

，把A的坐标代入求出即可；
（2）求出∠AOA′，根据扇形的面积公式求出扇形AOA′的面积，求出OD、DC长，求出△ODC的面积，相减即可求出答案．

解答：（1）解：∵∠ABO=90°，OB=3

3

，∠AOB=30°，
∴tan30°=

AB

3 3

，
∴AB=3，
∴OA=2AB=6，
∴A的坐标是（3，3

3

），
设过A的双曲线的解析式是y=

k

x

，
把A的坐标代入得：k=9

3

，
∴双曲线的解析式是y=

9 3

x

．

（2）解：∵∠AOA′=90°-30°=60°，OA=6，
∴扇形AOA′的面积是：

60π×62

360

=6π，
∵△DOC是等腰直角三角形，OC=3

3

，
∴sin45°=

DC

3 3

，
∴DC=OD=

3 6

2

，
∴△ODC的面积是：

1

2

×OD×DC=

1

2

×

3 6

2

×

3 6

2

=

27

4

，
∵阴影部分的面积等于扇形的面积减去△ODC的面积，
∴阴影部分的面积是6π-

27

4

．

点评：本题考查的知识点是求扇形的面积、求三角形的面积、解直角三角形、含30度角的直角三角形，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，题目具有一定的代表性，难度也适中，是一道比较好的题目．