Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(1，0)，如图所示，抛物线y＝ax²－ax－2经过点B．

(1)求点B的坐标；

(2)求抛物线的解析式；

(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△CAO，即可得BD＝OC＝1，CD＝OA＝2，则可求得点B的坐标； 　　(2)利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； 　　(3)分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3＝AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，去分析则可求得答案． 　　解答：解：(1)过点B作BD⊥x轴，垂足为D， 　　∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠AC0＋∠OAC＝90°， 　　∴∠BCD＝∠CAO， 　　又∵∠BDC＝∠COA＝9°，CB＝AC， 　　∴△BDC≌△CAO， 　　∴BD＝OC＝1，CD＝OA＝2， 　　∴点B的坐标为(3，1)； 　　(2)∵抛物线y＝ax2－ax－2过点B(3，1)， 　　∴1＝9a－3a－2， 　　解得：a＝， 　　∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2； 　　(3)假设存在点P，使得△ACP是直角三角形， 　　①若以AC为直角边，点C为直角顶点， 　　则延长BC至点P1使得P1C＝BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图(1)， 　　∵CP1＝BC，∠MCP1＝∠BCD，∠P1MC＝∠BDC＝90°， 　　∴△MP1C≌△DBC， 　　∴CM＝CD＝2，P1M＝BD＝1， 　　∴P1(－1，－1)，经检验点P1在抛物线y＝x2－x－2上； 　　②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2＝AC， 　　得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图(2)， 　　同理可证△AP2N≌△CAO， 　　∴NP2＝OA＝2，AN＝OC＝1， 　　∴P2(－2，1)，经检验P2(－2，1)也在抛物线y＝x2－x－2上； 　　③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3＝AC， 　　得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图(3)， 　　同理可证△AP3H≌△CAO， 　　∴HP3＝OA＝2，AH＝OC＝1， 　　∴P3(2，3)，经检验P3(2，3)不在抛物线y＝x2－x－2上； 　　故符合条件的点有P1(－1，－1)，P2(－2，1)两点． 　　点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性和强，难度较大，解题的关键是要注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用的应用．

提示：

二次函数综合题．