Question

如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一个动点．
（1）当点E在AC上运动时，EB和ED总有怎样的关系成立，并证明；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED=150°时，求∠EFD的度数．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的对角线平分对角知∠BCA=∠DCA．故连接EB、ED，应用SAS可证明△CBE≌△CDE；
（2）由（1）可得∠CEB的度数，根据三角形内角和可得∠AFB的度数，利用外角求∠EFD．

解答：解：（1）EB=ED．理由如下：
连接EB、ED．
∵ABCD是正方形，AC是对角线，
∴BC=CD；∠BCA=∠DCA=45°，
又CE=CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS），
∴EB=ED；

（2）∵△BCE≌△DCE，
∴∠BEC=∠DEC=

1

2

∠BED=

1

2

×150°=75°．
∵∠BCA=∠DCA=45°，
∴∠EBC=180°-75°-45°=60°，
∴∠AFB=60°，
∠EFD=180°-60°=120°．

点评：此题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识点，综合性较强．