Question

（2012•海门市一模）关于x的方程kx²+（k-2）x+

k

4

=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两根分别为x₁，x₂，若|x₁+x₂|-1=x₁x₂，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由关于x的方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，且k不为0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；
（2）利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知的等式中，得到关于k的方程，求出方程的解得到k的值，将求出的k值代入k的范围进行检验，即可得到满足题意的k的值．

解答：解：（1）由题意可得：

k≠0 (k-2)2-k2＞0

，
整理得：-4k+4＞0，且k≠0，
解得：k＜1，
则k的范围是k＜1且k≠0；
（2）由题意可得：

x1+x2= 2-k k x1x2= 1 4

，
∵|x₁+x₂|-1=x₁x₂，
∴|

2-k

k

|-1=

1

4

，即|

2-k

k

|=

5

4

，
∴

2-k

k

=

5

4

或

2-k

k

=-

5

4

，
解得：k=

8

9

或k=-8，
经检验k=

8

9

，k=-8满足题意，
则k的值是

8

9

或-8．

点评：此题考查了根与系数的关系，及根的判别式与方程解的情况，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），当b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac＜0时，方程无解；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，且方程有解时，设方程的解分别为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．