Question

【题目】在△ABC中，以AB为直径作⊙O，⊙O交BC的中点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：

（1）DE是⊙O的切线；

（2）AB＝AC．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）连接OD，根据题意可得OD是△ABC的中位线，即OD∥AC，进而可证DE⊥OD，根据切线的判定即可得证；

（2）连接AD，根据圆周角定理可得∠ADB＝90°，再根据垂直平分线的性质即可得证.

证明：（1）连接OD，

∵O是AB的中点，D是BC的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切线；

（2）连接AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵D是BC的中点，

∴AD垂直平分BC，

∴AB＝AC．