Question

如图，在锐角△ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心，

1

2

AC长为半径作⊙O，交BC于E，过O作OD∥BC交⊙O于D，连接AE、AD、DC．
（1）求证：D是

AE

的中点；
（2）求证：∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）若

S△CEF

S△OCD

=

1

2

，且AC=4，求CF的长．

Answer 1

分析：（1）由AC是⊙O的直径，即可求得OD∥BC，又由AE⊥OD，即可证得D是

AE

的中点；
（2）首先延长OD交AB于G，则OG∥BC，可得OA=OD，根据等腰三角形的性质，即可求得∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）由AO=OC，S_△OCD=

1

2

S_△ACD，即可得

S△CEF

S△ACD

=

1

4

，又由△ACD∽△FCE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得CF的长．

解答：（1）证明：∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
∵OD∥BC，
∴AE⊥OD，
∴D是

AE

的中点；

（2）证明：
方法一：
如图，延长OD交AB于G，则OG∥BC，
∴∠AGD=∠B，
∵∠ADO=∠BAD+∠AGD，
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠DAO=∠B+∠BAD；

方法二：
如图，延长AD交BC于H，
则∠ADO=∠AHC，
∵∠AHC=∠B+∠BAD，
∴∠ADO=∠B+∠BAD，
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠B+∠BAD；

（3）解：∵AO=OC，
∴S_△OCD=

1

2

S_△ACD，
∵

S△CEF

S△OCD

=

1

2

，
∴

S△CEF

S△ACD

=

1

4

，
∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，
∴△ACD∽△FCE，
∴

S△CEF

S△ACD

=(

CF

AC

)2，
即：

1

4

=(

CF

4

)2，
∴CF=2．

点评：此题考查了垂径定理，平行线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．