Question

在平面直角坐标系中，直线y=

3

4

x+3与x轴，y轴分别交于A、B两点，⊙F与x轴、y轴和直线AB分别相切于点D，E，C，求⊙F的半径．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：分类讨论

分析：由条件易求出OA、OB、AB的长及△AOB的面积，由于满足条件的圆心F的位置并不唯一，因此需分情况讨论（如图1、图2、图3、图4），连接FA、FB、FO、FD、FE、FC，然后只需利用S_△OAB与S_△OAF、S_△OBF、S_△ABF之间的等量关系就可求出⊙F的半径．

解答：解：∵直线y=

3

4

x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA=4，OB=3．
∵∠AOB=90°，
∴S_△AOB=

1

2

OA•OB=6，AB=

OA2+OB2

=5．
①若点F在如图1的位置，设⊙F的半径为r，

连接FA、FB、FO、FD、FE、FC，则FD=FE=FC=r．
∵⊙F与x轴、y轴和直线AB分别相切于点D、E、C，
∴FD⊥OA，FE⊥OB，FC⊥AB．
∵S_△OAB=S_△OAF+S_△OBF+S_△ABF，
∴6=

1

2

OA•FD+

1

2

OB•FE+

1

2

AB•FC，
∴6=

1

2

r（OA+OB+AB）=

1

2

r×（4+3+5），
∴r=1．
②若点F在如图2的位置，设⊙F的半径为r，

连接FA、FB、FO、FD、FE、FC，则FD=FE=FC=r．
∵⊙F与x轴、y轴和直线AB分别相切于点D、E、C，
∴FD⊥OA，FE⊥OB，FC⊥AB．
∵S_△OAB=S_△OAF+S_△ABF-S_△OBF，
∴6=

1

2

OA•FD+

1

2

AB•FC-

1

2

OB•FE，
∴6=

1

2

r（OA+AB-OB）=

1

2

r×（4+5-3），
∴r=2．
③若点F在如图3的位置，设⊙F的半径为r，

连接FA、FB、FO、FD、FE、FC，则FD=FE=FC=r．
∵⊙F与x轴、y轴和直线AB分别相切于点D、E、C，
∴FD⊥OA，FE⊥OB，FC⊥AB．
∵S_△OAB=S_△OBF+S_△ABF-S_△OAF，
∴6=

1

2

OB•FE+

1

2

AB•FC-

1

2

OA•FD，
∴6=

1

2

r（OB+AB-OA）=

1

2

r×（3+5-4），
∴r=3．
④若点F在如图4的位置，设⊙F的半径为r，

连接FA、FB、FO、FD、FE、FC，则FD=FE=FC=r．
∵⊙F与x轴、y轴和直线AB分别相切于点D、E、C，
∴FD⊥OA，FE⊥OB，FC⊥AB．
∵S_△OAB=S_△OAF+S_△OBF-S_△ABF，
∴6=

1

2

OA•FD+

1

2

OB•FE-

1

2

AB•FC，
∴6=

1

2

r（OA+OB-AB）=

1

2

r×（4+3-5），
∴r=6．
综上所述：满足条件的⊙F的半径为1或2或3或6．

点评：本题主要考查了切线的性质、直线上点的坐标特征、三角形的面积公式等知识，用到了分类讨论的数学思想，而运用面积法是解决本题的关键．