Question

5．已知方程x²+2（m-2）x+m²+4=0有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大40，求m的值．

Answer 1

分析 设方程x²+2（m-2）x+m²+4=0的两个实数根分别为x₁、x₂，由根与系数的关系可知x₁+x₂=-2（m-2），x₁•x₂=m²+4，结合两个根的平方和比两根的积大40即可得出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出m的取值范围，由此即可确定m的值．

解答 解：设方程x²+2（m-2）x+m²+4=0的两个实数根分别为x₁、x₂，则x₁+x₂=-2（m-2），x₁•x₂=m²+4，
∵${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$-x₁•x₂=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-3x₁•x₂=40，
∴[-2（m-2）]²-3（m²+4）=40，
整理，得：m²-16m-36=0，
解得：m₁=-2，m₂=18．
∵方程x²+2（m-2）x+m²+4=0有两个实数根，
∴△=[-2（m-2）]²-4（m²+4）=-16m≥0，
∴m≤0，
∴m的值为-2．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，根据跟与系数的关系以及根的判别式找出关于m的一元二次方程以及一元一次不等式是解题的关键．