Question

已知二次函数y=a（a+1）x²-（2a+1）x+1，其中a为正整数．
（1）若函数y的图象与x轴相交于A、B两点，求线段AB的长；
（2）若a依次取1，2，…，2005时，函数y的图象与x轴相交所截得的2005条线段分别为A₁B₁，A₂ B₂，…，A₂₀₀₅ B₂₀₀₅，试求这2005条线段长之和．

Answer 1

（1）设函数y的图象与x轴交于两点A（x₁，0），B（x₂，0），
则|AB|=|x₁-x₂|=

1

a(a+1)

因此，所求线段的长为

1

a(a+1)

（a为正整数）．
（2）∵|AB|=|x₁-x₂|=

1

a(a+1)

∴A₁B₁，A₂ B₂，…，A₂₀₀₅ B₂₀₀₅的和
=1×

1

1×(1+1)

+

1

2×(2+1)

+…+

1

2005(2005+1)

=

2005

2006