Question

观察下列各式．
13=1=

1

4

×12×22，
13+23=9=

1

4

×22×32，
13+23+33=36=

1

4

×32×42，
…
（1）猜想填空：13+23+33+…+n3=

1

4

×

n

²×

（n+1）

²
（2）求1³+2³+3³+4³+5³的值．

Answer 1

分析：（1）观察已知的几个式子可以得到规律：等号的左边是从1开始的连续整数的立方和的形式，右边是

1

4

与两个数的平方的积，第一个是左边的整数中的最大的一个，第二个是比这个数大1的相邻的整数，据此规律即可求解；
（2）根据（1）的规律解答即可．

解答：解：（1）∵1³=1=

1

4

×1²×2²=

1

4

×1²×（1+1）²，
1³+2³=9=

1

4

×2²×3²=

1

4

×2²×（2+1）²，
1³+2³+3³=36=

1

4

×3²×4²=

1

4

×3²×（3+1）²，
1³+2³+3³+4³=64=

1

4

×4²×5²=

1

4

×4²×（4+1）²，
…，
1³+2³+3³+…+n³=

1

4

n²（n+1）²；

（2）1³+2³+3³+4³+5³=

1

4

×5²×（5+1）²=225．
故答案为：（1）

1

4

n²（n+1）²；（2）225．

点评：本题是对数字变化规律的考查，正确观察已知的式子的特点，得到规律是解决本题的关键．