题目内容
【题目】数学课上,张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF.
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路：在AB上截取BM=BE,连接ME，则AM=EC,易证△AME≌△ECF，所以AE=EF.
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
(1)小颖提出：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
(2)小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立。你认为小华的观点正确吗?如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由。
【答案】（1）正确，证明见解析；（2）正确，证明见解析.
【解析】解：（1）正确.
证明：在AB上取一点M，使AM=EC，连结ME，
∴BM=BE. ∴∠BME=45°. ∴∠AME=135°.
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF = 45°. ∴∠ECF = 135°.
∴∠AME = ∠ECF .
∵∠AEB +∠BAE=90°，∠AEB + ∠CEF = 90°,
∴∠BAE = ∠CEF.
∴△AME ≌ △ECF（ASA).
∴AE=EF.
（2）正确.
证明：
在BA的延长线上取一点N，
使AN=CE，连接NE.
∴BN=BE.
∴∠N=∠FCE=45°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE . ∴∠DAE=∠BEA .
∴∠NAE=∠CEF . ∴△ANE≌△ECF（ASA).
∴AE=EF.
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