Question

如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，则不难证明S₁＝S₂＋S₃．

(1)如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，那么S₁、S₂、S₃之间有什么关系？(不必证明)

(2)如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，请你确定S₁、S₂、S₃之间的关系并加以证明；

(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，为使S₁、S₂、S₃之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；

(4)类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．

Answer 1

答案：
解析：

设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2＝a2＋b2． 　　(1)S1＝S2＋S3． 　　(2)S1＝S2＋S3．证明如下： 　　显然，S1＝，S2＝，S3＝， 　　∴S2＋S3＝＝S1． 　　(也可用三角形相似证明) 　　(3)当所作的三个三角形相似时，S1＝S2＋S3．证明如下： 　　∵所作三个三角形相似，∴ 　　． 　　(4)分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，则S1＝S2＋S3．