Question

如图，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，交⊙O于点E，连结CE、AE、CD，若∠AEC=∠ODC．

（1）求证：直线CD为⊙O的切线；

（2）若AB=5，BC=4，求线段CD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，

∵∠CEA=∠CBA，∠AEC=∠ODC，

∴∠CBA=∠ODC，

又∵∠CFD=∠BFO，

∴∠DCB=∠BOF，

∵CO=BO，

∴∠OCF=∠B，

∵∠B+∠BOF=90°，

∴∠OCF+∠DCB=90°，

∴直线CD为⊙O的切线；

（2）解：连接AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠DCO=∠ACB，

又∵∠D=∠B

∴△OCD∽△ACB，

∵∠ACB=90°，AB=5，BC=4，

∴AC=3，

∴=，

即=，

解得；DC=．