Question

如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC、AC．
（1）求证：△BCD∽△BAC；
（2）若⊙O的半径为3，CD=2

2

，求BD的长．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OC，根据切线性质求出∠OCP=90°，推出OC∥BD，求出∠DBC=∠ABC，∠BDC=∠BCA，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）根据相似三角形的性质求出BC²=6BD，根据勾股定理得出BC²=BD²+CD²，推出6BD=8+BD²，求出即可．

解答：（1）证明：连结OC，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴OC∥BD，
∴∠BCO=∠DBC，
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠OBC，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∴△BCD∽△BAC；

（2）解：∵△BCD∽△BAC，
∴

BD

BC

=

BC

AB

，
∴BC²=6BD，
∵BC²=BD²+CD²，
∴6BD=8+BD²，
解得：BD=4或2（不合题意，舍去），
∴BD=4．

点评：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目综合比较强，难度适中．