Question

已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3,BC=2,取AB的中点M，连结MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO.

(1)直接写出点D的坐标；

(2)已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP.

①若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；

②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得的值最大.若存在，求出T点坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：

(1)依题意得：

(2) ① ∵，，∴.

 ∵抛物线经过原点，

∴设抛物线的解析式为

又抛物线经过点与点

∴   解得：

∴抛物线的解析式为.

∵点在抛物线上，

∴设点.

1)若∽，则，

解得：(舍去)或，

∴点.

2)若∽，则， ，解得：(舍去)或，

∴点

②存在点，使得的值最大.

抛物线的对称轴为直线，设抛物线与轴的另一个交点为，则点.

∵点、点关于直线对称，

∴

要使得的值最大，即是使得的值最大，

根据三角形两边之差小于第三边可知，当、、三点在同一直线上时，的值最大.设过、两点的直线解析式为，

∴    解得：

∴直线的解析式为

当时，.

∴存在一点使得最大.