题目内容
【题目】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．
⑴当x为何值时，△APD是等腰三角形?
⑵若设BE=y，求y关于x的函数关系式；
⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C?若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．
【答案】．
【解析】
⑴解：过D点作DH⊥AB于H，
则四边形DHBC为矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6 ∴AH=2，AD=2
…………………1分
∵AP=x， ∴PH=x－2，
情况①：当AP=AD时，即x=2……………………………2分
情况②：当AD=PD时，则AH=PH
∴2=x－2，解得x= 4………………………………………………………·3分
情况③：当AP=PD时，
则Rt△DPH中，x2=42+(x－2)2，解得x=5…………………………………4分
∵2<x<8，∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形…………………………5分
⑵易证：△DPH∽△PEB ………………………………………………………………7分
∴
，∴
整理得：y=
(x－2)(8－x)=－x2+x－4………8分
⑶若存在，则此时BE=BC=4，即y=－x2+x－4=4，整理得：x2－10x+32=0
∵△=(－10)2－4×32<0，∴原方程无解，……………………………………………9分
∴不存在点P，使得PQ经过点C……………………………………………………10分
当BC满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过点C……………………………12分
1、过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，在Rt△AHD中，由勾股定理可求得DH、AD、PH的值，若△ADP为等腰三角形，则分三种情况：①当AP=AD时，x=AP=AD，②当AD=PD时，有AH=PH，故x=AH+PH，③当AP=PD时，则在Rt△DPH中，由勾股定理可求得DP的值，有x=AP=DP．
2、易证：△DPH∽△PEB，即，故可求得y与x的关系式．
3、利用△DPH∽△PEB，得出
，进而利用根的判别式和一元二次不等式解集得出即可．
