题目内容
【题目】已知在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，直线y=-x-4经过A，C两点，
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=
AO，求P，Q的坐标；
（3）动点M在直线y=-x-4上，且以C，O，M为顶点的三角形与△ABC相似，求点M的坐标．
【答案】（1）
；（2）P点坐标（﹣2，﹣4），Q点坐标（0，﹣4）；（3）M点的坐标为（﹣
，-
），（﹣3，-1）
【解析】
（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得P、Q关于直线x＝1对称，根据PQ的长，可得P点的横坐标，Q点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得CM的长，根据等腰直角三角形的性质，可得MH的长，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
解：（1）当x=0时，y=-4，即C（0，-4）；
当y=0时，-x-4=0，解得，x=-4，即A（-4,0）
将A，C点坐标代入
，得
，
解得
．
抛物线的表达式为．
（2）∵A（-4,0），
∴AO=4．
∵ PQ=
AO，
∴PQ=AO=2．
又∵PQ∥AO，
∴ P、Q关于对称轴x=﹣1对称．
∴P点的横坐标为﹣1﹣1=﹣2，Q点的横坐标为﹣1+1=0．
当x=﹣2时，y=×（﹣2）2+（﹣2）-4=﹣4，
∴P（﹣2，﹣4）；
当x=0，y=×（0）2+0-4=﹣4，
∴Q（0，﹣4）；
P点坐标（﹣2，﹣4），Q点坐标（0，﹣4）．
（3）由
，得
，
∴B（-2,0）
∵A（-4,0），C（0，-4）
∴OA =OC=4，OB=2．
∴A B=6，
,∠ MCO=∠CAB=45o．
①当△MCO∽△CAB时，
，
即
，解得CM=
．
如图，过点M作MN⊥y轴于点N，则
．
当
时，
，
∴M（
，
）．
②当△OCM∽△CAB时，
，
即
，解得CM=
．
同①可得，
．
当
时，
，
∴M（
，
）．
综上所述：M点的坐标为（﹣，-），（﹣3，-1）．
