Question

如图，已知Rt△ABC，D₁是斜边AB的中点，过D₁作D₁E₁⊥AC于E₁，连接BE₁交CD₁于D₂；过D₂作D₂E₂⊥AC于E₂，连接BE₂交CD₁于D₃；过D₃作D₃E₃⊥AC于E₃，…，如此继续，可以依次得到点D₄，D₅，…，D_n，分别记△BD₁E₁，△BD₂E₂，△BD₃E₃，…，△BD_nE_n的面积为S₁，S₂，S₃，…S_n．则（ ）

A．S_n=S_△ABC
B．S_n=S_△ABC
C．S_n=S_△ABC
D．S_n=S_△ABC

Answer 1

【答案】分析：首先证明构成等差数列，而=2，故=2+1•（n-1）=n+1，则可以得到△ABC与△BDnEn面积之间的关系，从而求解．
解答：解：∵S_△BDnEn=S_△CDnEn•CEn，
∴DnEn=D₁E₁•CEn•，而D₁E₁=BC，CE1=AC，
∴S_△BDnEn=•BC••CEn=•CEn=BC•AC[]²
=S_△ABC•[]²，
延长CD₁至F使得D₁F=CD₁，
∴四边形ACBF为矩形．
∴===，
对于=，
两边均取倒数，
∴=1+，
即是-=1，
∴构成等差数列．
而=2，
故=2+1•（n-1）=n+1，
∴S_△BDnEn=S_△ABC•[]²，
则S_n=S_△ABC．
故选D．
点评：本题主要考查了三角形面积的计算，正确证明构成等差数列是解题关键．