Question

如图，在△ABC中， AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．点D在线段BC的左侧，点E在线段BC的右侧. 设BD = x，CE = y．

（1）如果∠BAC = 30°，∠DAE = 105°，试确定y与x之间的函数关系式；

（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α，β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．

Answer 1

解：（1）在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC = 30°，

∴∠ABC=∠ACB=75°，∠ABD=∠ACE=105°．

又∠DAE=105°，

∴∠DAB+∠CAE=75°．

又∠DAB+∠ADB=∠ABC =75°，

∴∠CAE=∠ADB． ∴△ADB∽△EAC．

∴．   即，所以． 

(2) 法一：当α，β满足关系式时，函数关系式成立．  

此时，∠DAB+∠CAE=β－α．   

又∠DAB+∠ADB=∠ABC =90°－=β－α，  

又∵∠ABD=∠ACE，∴△ADB∽△EAC仍然成立．  

从而（1）中函数关系式成立． 

法二：当α，β满足关系式时，函数关系式成立． 

因为成立，即成立，必须△ADB∽△EAC．

因而应有∠ADB=∠EAC，∠BAD=∠CEA．

所以∠BAD＋∠ADB=∠EAC ＋∠CEA=β－α．

在△ABC中，，∠BAD＋∠ADB=∠ABC，

所以，即．

此时函数关系式成立．