题目内容
【题目】如图，在
中，
，
，
，点P是射线BA上的一个动点，以BP为半径的
交射线BC于点D，直线PD交直线AC于点E，点P关于直线AC的对称点为点
，连结
，
，设直线与直线BC交于点F．
当点P在线段BA上时，
求证：
；
连结
，当
时，求
的长；
连结AD，AF，当
恰为等边三角形时，求此时四边形
的面积；
当四边形在内部时，请直接写出BP的取值范围．
【答案】
证明见解析；②
．（2）①
．②
．（3）
．
【解析】
欲证明
，利用等角的余角相等证明
即可；
如图2中，作
于H，连接
交AC于点
设
，则
易知
，根据
，可得
，推出
，由
，可得
，由此即可解决问题；
分两种情形分别求解即可：
如图3中，当点D在BC上时
如图4中，当点D在BC的延长线上时，分别求解即可；
如图4中，当点
在
上时，设
则
，构建方程求出m的值即可解决问题.
证明：如图1中，
，
，
，
，
，
，
．
如图2中，作于H，连接交AC于点设，则
．
在
中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形
是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图3中，当点D在BC上时，连接AD，AF，作
于H，连接交AC于点J．
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
四边形PJCH是矩形，
，
，
．
如图4中，当点D在BC的延长线上时，连接AD，AF，当
是等边三角形时，作于H，连接交AC于点J．
同法可得：
，
，
．
如图4中，当点在上时，设则
，
，
，
，
，
观察图象可知：当四边形在内部时，BP的取值范围为．
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