Question

【题目】如图，在△ABC中，∠CBD、∠BCE是△ABC的外角，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．

（1）∠PBQ的度数是　 　，∠PCQ的度数是　 　；

（2）若∠A＝70°，求∠P和∠Q的度数；

（3）若∠A＝α，则∠P＝　 　，∠Q＝　 　（用含α的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）90°、90°；（2）125°，55°；（3）90°+α、90°﹣α．

【解析】

（1）由角平分线知∠PBC＝∠ABC、∠QBC＝∠DBC，由∠ABC+∠DBC＝180°知∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝（∠ABC+∠DBC）＝90°，同理可得∠PCQ的度数；

（2）由∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）可得∠P度数，由∠Q＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB＝180°﹣（180°﹣∠ABC）﹣（180°﹣∠ACB）＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）可得∠Q度数；

（3）与（2）同理可得．

（1）∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，BQ平分∠CBD，CQ平分∠BCE．

∴∠PBC＝∠ABC、∠QBC＝∠DBC、∠PCB＝∠ACB、∠QCB＝∠BCE，

∵∠ABC+∠DBC＝180°、∠ACB+∠BCE＝180°，

∴∠PBQ＝∠PBC+∠QBC＝（∠ABC+∠DBC）＝90°，

∠PCQ＝∠PCB+∠QCB＝（∠ACB+∠BCE）＝90°，

故答案为：90°、90°；

（2）∵∠PBC＝∠ABC、∠PCB＝∠ACB，

∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB

＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB

＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）

＝180°﹣（180°﹣∠A）

＝180°﹣（180°﹣70°）

＝125°；

∵∠QBC＝∠ABC、∠QCB＝∠ACB，

∴∠Q＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB

＝180°﹣（180°﹣∠ABC）﹣（180°﹣∠ACB）

＝（∠ABC+∠ACB）

＝（180°﹣∠A）

＝（180°﹣70°）

＝55°．

（3）与（2）同理知∠P＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+α，

∠Q＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A＝90°﹣α，

故答案为：90°+α、90°﹣α．