Question

【题目】如图1，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接BE，CD，点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点．

（1）观察猜想：图1中，△PMN的形状是　 　；　

（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，△PMN的形状是否发生改变？并说明理由；　

（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=1，AB=3，请直接写出△PMN的周长的最大值．

Answer 1

【答案】(1) 等边三角形；(2) △PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形,理由见解析；（3）6

【解析】分析：（1）如图1，先根据等边三角形的性质得到AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，则BD=CE，再根据三角形中位线性质得PM∥CE，PM=CE，PN∥AD，PN=BD，从而得到PM=PN，∠MPN=60°，从而可判断△PMN为等边三角形；

（2）连接CE、BD，如图2，先利用旋转的定义，把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，则BD=CE，∠ABD=∠ACE，与（1）一样可得PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，则计算出∠BPM+∠CPN=120°，从而得到∠MPN=60°，于是可判断△PMN为等边三角形．

（3）利用AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）得到BD的最大值为4，则PN的最大值为2，然后可确定△PMN的周长的最大值．

详解：（1）如图1．

∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°．

∵AD=AE，∴BD=CE．

∵点M、N、P分别是BE、CD、BC的中点，

∴PM∥CE，PM=CE，PN∥AD，PN=BD，

∴PM=PN，∠BPM=∠BCA=60°，∠CPN=∠CBA=60°，

∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形；

故答案为：等边三角形；

（2）△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形．理由如下：

连接CE、BD，如图2．

∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，

∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，

与（1）一样可得PM∥CE，PM=CE，PN∥AD，PN=BD，

∴PM=PN，∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，

∴∠BPM+∠CPN=∠CBD+∠CBD=∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN为等边三角形．

（3）∵PN=BD，∴当BD的值最大时，PN的值最大．

∵AB﹣AD≤BD≤AB+AD（当且仅当点B、A、D共线时取等号）

∴BD的最大值为1+3=4，∴PN的最大值为2，∴△PMN的周长的最大值为6．