题目内容

已知关于x的一元二次方程x²-2x-a²-a=0（a＞0）．
（1）求证：这个方程的一根大于2，一根小于2；
（2）若对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α₁和β₁，α₂和β₂，α₃和β₃，…，α₂₀₁₀和β₂₀₁₀，α₂₀₁₁和β₂₀₁₁，试求 $数学公式$ 的值．

（1）证明：设方程的两根是α₁，β₁，
则α₁+β₁=2，α₁•β₁=-a²-a，
∴（α₁-2）（β₁-2）
=α₁β₁-2（α₁+β₁）+4
=-a²-a-2×2+4
=-a²-a，
∵a＞0，
∴-a²-a＜0，
即这个方程的一根大于2，一根小于2．

（2）解：∵α₁+β₁=2，α₁•β₁=-a²-a=-a（a+1）
∵对于a=1，2，3，…，2010，2011时，相应得到的一元二次方程的两根分别为α₁和β₁，α₂和β₂，α₃和β₃，…，α₂₀₁₀和β₂₀₁₀，α₂₀₁₁和β₂₀₁₁，
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$
=-2×（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ）
=-2×（1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
=-2×（1- $\text{[math]}$ ）
=- $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设方程的两根是α₁，β₁，得出α₁+β₁=2，α₁•β₁=-a²-a，代入（α₁-2）（β₁-2），=α₁β₁-2（α₁+β₁）+4，求出其结果是-a²-a，求出-a²-a＜0即可；
（2）得出α₁+β₁=2，α₁•β₁=-a²-a=-a（a+1），把 $\text{[math]}$ 变形为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ ，代入后得出-2×（1- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），推出-2×（1- $\text{[math]}$ ），求出即可．
点评：本题考查了根与系数的应用，解（1）小题的关键是看看式子（α₁-2）（β₁-2）结果的符号，解（2）小题的关键是找出所求的式子的计算规律，本题题型较好，但有一定的难度．