Question

如图，抛物线m ：y=（x+h ）²+k 与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ，顶点为M （3，），将抛物线m 绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为D。
（1）求抛物线n的解析式；
（2）设抛物线n与x 轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P 不与E 、D 重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ．如果P 点的坐标为（x ，y ），△PEF的面积为S，求S 与x的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出S 的最大值；
（3）设抛物线m 的对称轴与x 轴的交点为G ，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G ，试判断直线CM与⊙G 的位置关系，并说明理由。

Answer 1

解：（1）∵抛物线m的顶点为， ∴m的解析式为 ∴ ∵抛物线n是由抛物线m绕点B旋转180°得到， ∴D的坐标为， ∴抛物线n的解析式为：， 即； （2）∵点E与点A关于点B中心对称， ∴E（18，0）， 设直线ED的解析式为y=kx+b， 则 ∴ ∴ 又点P坐标为（x ，y ） ∴ ， ∴当时，S有最大值， 但，所以的面积S没有最大值； （3）∵抛物线m的解析式为，令x=0，得y=4， ∴ ∵抛物线m的对称轴与x轴的交点为G， ∴， ∴ 又AB=10 ∴⊙G的半径为5， ∴点C在⊙G上， 过M点作y轴的垂线，垂足为N， 则 又， ∴， ∴直线CM与⊙G相切。