题目内容
（2012•沙河口区模拟）如图，正方形ABCD与正方形BEFG有公共顶点B，点G在边BC上，AG的延长线交CE于点H，连接BH．（1）求证：∠BAG=∠BCE；
（2）若AB=2BG，求
| BH |
| AH |
（3）若AB=kBG，直接写出
| BH |
| AH |
分析：（1）由四边形ABCD与BEFG是正方形，可得AB=CB，∠ABC=∠CBE=90°，GB=EB，然后由SAS即可判定△ABG≌△BCE，则可证得：∠BAG=∠BCE；
（2）由（1）易得△AHE是直角三角形，△AGB∽△CGH，继而可得△BGH∽△AGC，然后由相似三角形的对应边成比例，可得BH•AG=AC•BG，又由在Rt△AHE和Rt△ABG中，cosHAE=
=
，可得AH•AG=AB•AE，则可求得
=
，又由AB=2BG，即可求得
的值；
（3）由（2）可得
=
，又由AB=kBG，即可求得
的值．
（2）由（1）易得△AHE是直角三角形，△AGB∽△CGH，继而可得△BGH∽△AGC，然后由相似三角形的对应边成比例，可得BH•AG=AC•BG，又由在Rt△AHE和Rt△ABG中，cosHAE=
| AH |
| AE |
| AB |
| AG |
| BH |
| AH |
| AC•BG |
| AB(AB+BE) |
| BH |
| AH |
（3）由（2）可得
| BH |
| AH |
| AC•BG |
| AB(AB+BE) |
| BH |
| AH |
解答：（1）证明：∵四边形ABCD与BEFG是正方形，
∴AB=CB，∠ABC=∠CBE=90°，GB=EB，
在△ABG和△BCE中，
∵
，
∴△ABG≌△BCE（SAS），
∴∠BAG=∠BCE；
（2）连接AC，
∵由（1）得：∠BAG=∠BCE，
∴∠BAG+∠BEH=∠BCE+∠BEH=180°-∠CBE=90°，
∴∠AHE=180°-（∠BAG+∠BEH）=90°
∵∠AGB=∠CGH，
∴△AGB∽△CGH，
∴
=
，
∴
=
，
∵∠BGH=∠AGC，
∴△BGH∽△AGC，
∴
=
，
即BH•AG=AC•BG，
在Rt△AHE和Rt△ABG中，
∵cosHAE=
=
，
∴AH•AG=AB•AE，
∴
=
，
∴
=
，
∵AB=2BG，
∴
=
=
；
（3）由（2）得：
=
，
∵AB=kBG，
∴∴
=
=
．
∴AB=CB，∠ABC=∠CBE=90°，GB=EB，
在△ABG和△BCE中，
∵
|
∴△ABG≌△BCE（SAS），
∴∠BAG=∠BCE；
（2）连接AC，
∵由（1）得：∠BAG=∠BCE，∴∠BAG+∠BEH=∠BCE+∠BEH=180°-∠CBE=90°，
∴∠AHE=180°-（∠BAG+∠BEH）=90°
∵∠AGB=∠CGH，
∴△AGB∽△CGH，
∴
| AG |
| CG |
| BG |
| HG |
∴
| HG |
| CG |
| BG |
| AG |
∵∠BGH=∠AGC，
∴△BGH∽△AGC，
∴
| BH |
| AC |
| BG |
| AG |
即BH•AG=AC•BG，
在Rt△AHE和Rt△ABG中，
∵cosHAE=
| AH |
| AE |
| AB |
| AG |
∴AH•AG=AB•AE，
∴
| BH•AG |
| AH•AG |
| AC•BG |
| AB•AE |
∴
| BH |
| AH |
| AC•BG |
| AB(AB+BE) |
∵AB=2BG，
∴
| BH |
| AH |
| ||
| AB•3BG |
| ||
| 3 |
（3）由（2）得：
| BH |
| AH |
| AC•BG |
| AB(AB+BE) |
∵AB=kBG，
∴∴
| BH |
| AH |
| ||
| AB•(k+1)BG |
| ||
| k+1 |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的定义．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
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