题目内容

如图，抛物线y=ax²+bx+c与y轴相交于点C（O，1），x₁，x²是方程ax²+bx+c=x的两个根，且x₁=-x²．点A（x₁，0）在点B（x²，0）的左边，以AB为直径的圆交y轴于C，D两点．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）设抛物线的对称轴交x轴于E点，连接CE并延长交圆于F点，求EF的长；
（3）过D点作圆的切线交直线CB于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点C（0，1），
∴c=1，
又∵x₁、x₂是方程ax²+（b-1）x+c=O的两个根，且x₁=-x₂，
∴x₁+x₂=0，b=1，
由x₁=-x₂知O为圆点，
∴OA=OB=OC，
∴x₁=-1，x₂=1，x₁•x₂=-1，a=-1，
∴抛物线y=ax²+bx+c的解析式为y=-x²+x+1；

（2）∵y=-x²+x+1=-（x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∴抛物线y=-x²+x+1的对称轴是x= $\text{[math]}$ ，
∴E点的坐标为（ $\text{[math]}$ ，0），
∴CE= $\text{[math]}$ ，AE= $\text{[math]}$ ，BE= $\text{[math]}$ ，
由相交弦定理，得CE•EF=AE•BE，
∴EF= $\text{[math]}$ ；

（3）设直线BC的解析式为y=kx+b
点B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），K=-1b=1
∴直线BC的解析式为y=-x+1．
由圆的对称性可知点D的坐标为（O，-1）．显然，⊙O的切线DP∥x轴，
∴直线DP上的所有点的纵坐标都为-1．把y=-1代入y=-x+1，得x=2；
∴点P的坐标为（2，-1）．
将x=2，y=-1代入y=-x²+x+1得：左边=右边．
∴点P在抛物线上．
分析：（1）根据抛物线经过点C（0，1）求得c的值，然后利用根与系数的关系求得两根之和，进而确定a的值，从而确定函数的解析式；
（2）将函数y=-x²+x+1=-（x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ 后，得到其对称轴，从而确定点E的坐标，在圆中利用相交弦定理求得EF的长即可；
（3）先根据B、C两点的坐标求得直线BC的解析式，然后根据圆的对称性求得点D的坐标，得到直线DP上的所有点的纵坐标都为-1．并据此求得点P的坐标代入函数解析式坐标=右边，从而得到点P在抛物线上．
点评：本题考查了二次函数的综合知识，解题的关键是正确的利用圆的对称性等知识，成功的将圆的知识与二次函数的知识结合起来．