Question

已知如图，圆内接四边形ABCD，AB=AD，PB=BO，CE⊥PE，CD=18，求DE．

Answer 1

解：连OA，如图，
∵AB=AD，
∴∠AOB=∠DCO，
∴OA∥DC，
而PB=BO，CD=18
∴===，则OA=×18=12，PA=2AD，
由切割线定理得，PB•PC=PA•PD，即12×36=2AD•3AD，所以AD=6，
过O作OF⊥AB于F点，则BF=AF=3，
∵∠EDC=∠ABO，且CE⊥PE，
∴Rt△CDE～Rt△OBF，
∴=，即=，
∴DE=．
分析：连OA，由AB=AD，得∠AOB=∠DCO，OA∥DC，得到===，则OA=×18=12，PA=2AD；再根据由切割线定理得，PB•PC=PA•PD，即可得到AD=6；然后过O作OF⊥AB于F点，可证明Rt△CDE～Rt△OBF，通过相似比求出DE．
点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了平行线分线段成比例定理、切割线定理、圆内接四边形的性质和三角形相似的判定与性质．