Question

【题目】如图，已知抛物线与轴从左至右交于，两点，与轴交于点．

若抛物线过点，求抛物线的解析式；

在第二象限内的抛物线上是否存在点，使得以、、三点为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

如图，在的条件下，点的坐标为，点是抛物线上的点，在轴上，从左至右有、两点，且，问在轴上移动到何处时，四边形的周长最小？请直接写出符合条件的点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）将T点坐标代入函数解析式中即可求解a值；

（2）观察图1可知，∠ACB为钝角，则△ABD中只有∠DAB为钝角，故按照三角形相似的对应关系得∠DAB与∠ACB相对应，则可分下述两种对应情况分类讨论：①△DAB∽△BCA；②△DAB∽△ACB.两种情况下分别根据相似列出比例式进行求解；

（3）先代入Q点坐标求解t值，从而可求解出Q（6,10）.由于四边形PQNM四边中，PQ和MN长度均已固定，因此只需要寻找PM+QN的最小值即可. 作关于轴的对称点，过作轴，且，连接交轴于，过作，交轴于，则QG就是PM+QN的最小值.

解：如图，把代入抛物线得：

，

解得：，

∴抛物线的解析式为：；

当时，，

∴，

当时，，

，，

∴、，

如图，过作轴于，

设，

∵点在第二象限，为钝角，

∴分两种情况：

①如图，当时，，

∴，即，

∴，

，

则，

解得：或，

∴，

由勾股定理得：，

∵，

∴，

，

∵，

∴，

∴，

即

，

解得：，此方程无解；

②当时，如图，，

∵，，

∴，

∴是等腰直角三角形，

有，

∴，

∴，

∴，

，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

则，

解得：，

则；

当时，，

∴，

如图，作关于轴的对称点，过作轴，且，连接交轴于，过作，交轴于，

此时，就是的最小值，由于、为定值，所以此时，四边形的周长最小，

∵，

∴，

∵，，

∴四边形是平行四边形，

∴，，

∴，

设的解析式为：，

把和代入得：，

解得：，

∴的解析式为：，

当时，，

∴，

∵，

∴．