Question

问题背景：已知x是实数，求y=

x2+4

+

(12-x)2+9

的最小值．要解决这个问题需现判断出0＜x＜12，继而联想到构造以边长为2+3和12为边的矩形，找出等于

x2+22

和

(12-x)2+32

的线段，再比较

x2+22

和

(12-x)2+32

和矩形对角线的大小．
解：构造矩形ABCD，使AB=5，AD=12．在AB上截取AM=3，做矩形AMND．设点P是MN上一点MP=x，则PN=12-x，

PB= x2+22 PD= (12-x)2+32 BD= 122+52 =13 ∵PB+PD≥BD=13 ∴y的最小值是13.

（1）我们把上述求最值问题的方法叫做构图法．请仿造上述方法求y=

1+x2

+

25+(8-x)2

的最小值．
探索创新：
（2）已知a，b，c，d是正实数且a+b+c+d=1，试运用构图法求

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+d2

+

d2+a2

的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据勾股定理，

1+x2

和

25+(8-x)2

表示矩形的对角线长，即可构造矩形ABCD，使AB=6，AD=8．在AB上截取AM=5，作矩形AMND．设点P是MN上一点MP=x，则PN=8-x，利用两点之间线段最短即可证得；
（2）根据已知可以构造一个边长分别是a+b+c+d的正方形，即可利用两点之间线段最短即可求解．

解答：解：（1）构造矩形ABCD，使AB=6，AD=8．
在AB上截取AM=5，作矩形AMND．
设点P是MN上一点MP=x，则PN=8-x，
PB=

x2+12

，
PD=

(8-x)2+52

BD=

62+82

=10
∵PB+PD≥BD=10
∴y的最小值是10；

（2）构造图形，使BE=

a2+b2

，EF=

b2+c2

，FG=

c2+d2

，DG=

d2+a2

，
则BE+EF+FG+DG=

a2+b2

+

b2+c2

+

c2+d2

+

d2+a2

的最小值等于BD=

BC2+CD2

=

(a+b+c+d)2+(a+b+c+d)2

=

12+12

=

2

．

点评：本题考查了两点之间线段最短，正确理解题意是关键．