题目内容

问题背景：已知x是实数，求的最小值．要解决这个问题需现判断出0＜x＜12，继而联想到构造以边长为2+3和12为边的矩形，找出等于的线段，再比较和矩形对角线的大小．
解：构造矩形ABCD，使AB=5，AD=12．在AB上截取AM=3，做矩形AMND．设点P是MN上一点MP=x，则PN=12-x，
（1）我们把上述求最值问题的方法叫做构图法．请仿造上述方法求的最小值．
探索创新：
（2）已知a，b，c，d是正实数且a+b+c+d=1，试运用构图法求的最小值．

【答案】分析：（1）根据勾股定理，和表示矩形的对角线长，即可构造矩形ABCD，使AB=6，AD=8．在AB上截取AM=5，作矩形AMND．设点P是MN上一点MP=x，则PN=8-x，利用两点之间线段最短即可证得；
（2）根据已知可以构造一个边长分别是a+b+c+d的正方形，即可利用两点之间线段最短即可求解．
解答：解：（1）构造矩形ABCD，使AB=6，AD=8．
在AB上截取AM=5，作矩形AMND．
设点P是MN上一点MP=x，则PN=8-x，
PB=，
PD=
BD==10
∵PB+PD≥BD=10
∴y的最小值是10；

（2）构造图形，使BE=，EF=，FG=，DG=，
则BE+EF+FG+DG=的最小值等于BD====．

点评：本题考查了两点之间线段最短，正确理解题意是关键．
练习册系列答案
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24、阅读并解决问题．
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax-3a2=（x2+2ax+a2）-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）．
像这样，先添-适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a2-6a+8．
（2）若a+b=5，ab=6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．
（3）已知x是实数，试比较x2-4x+5与-x2+4x-4的大小，说明理由．
问题背景：已知x是实数，求y=
x2+4
+
(12-x)2+9
的最小值．要解决这个问题需现判断出0＜x＜12，继而联想到构造以边长为2+3和12为边的矩形，找出等于
x2+22
和
(12-x)2+32
的线段，再比较
x2+22
和
(12-x)2+32
和矩形对角线的大小．
解：构造矩形ABCD，使AB=5，AD=12．在AB上截取AM=3，做矩形AMND．设点P是MN上一点MP=x，则PN=12-x，
PB=
x2+22
PD=
(12-x)2+32
BD=
122+52
=13
∵PB+PD≥BD=13
∴y的最小值是13.

（1）我们把上述求最值问题的方法叫做构图法．请仿造上述方法求y=
1+x2
+
25+(8-x)2
的最小值．
探索创新：
（2）已知a，b，c，d是正实数且a+b+c+d=1，试运用构图法求
a2+b2
+
b2+c2
+
c2+d2
+
d2+a2
的最小值．

阅读并解决问题．
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2的形式．但对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有：
x2+2ax-3a2=（x2+2ax+a2）-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）．
像这样，先添-适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．
（1）利用“配方法”分解因式：a2-6a+8．
（2）若a+b=5，ab=6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．
（3）已知x是实数，试比较x2-4x+5与-x2+4x-4的大小，说明理由．

问题背景：已知x是实数，求的最小值。要解决这个问题需现判断出0<x<12,继而联想到构造以边长为2+3和12为边的矩形，找出等于的线段，再比较和矩形对角线的大小。

解：构造矩形ABCD，使AB=5，AD=12.在AB上截取AM=3，做矩形AMND。设点P是MN上一点MP=x,则PN=12-x,

（1）        我们把上述求最值问题的方法叫做构图法．请仿造上述方法求的最小值。

探索创新：

（2）已知a,b,c,d是正实数且a+b+c+d=1，试运用构图法求的最小值．

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