Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为

5

，点P为直线y=-x+4的一点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，若PC⊥PD，则点P的坐标为

（1，3）或（3，1）

．

Answer 1

分析：过P作x轴的垂线，垂足为F，连接OD、OP．根据切线的性质及PC⊥PD，得出∠OPD=∠OPC=45°，进而证明△OPD是等腰直角三角形，求出OP的长．再设P（m，-m+4），然后△OPF中运用勾股定理列出关于m的方程，解方程即可．

解答：解：过P作x轴的垂线，垂足为F，连接OD、OP．
∵PC、PD是⊙O的两条切线，∠CPD=90°，
∴∠OPD=∠OPC=

1

2

∠CPD=45°，
∵∠PDO=90°，∠POD=∠OPD=45°，
∴OD=PD=

5

，OP=

10

．
∵P在直线y=-x+4上，设P（m，-m+4），则OF=m，PF=-m+4，
∵∠PFO=90°，OF²+PF²=PO²，
∴m²+（-m+4）²=（

10

）²，
解得m=1或3，
故点P的坐标为（1，3）或（3，1）
故答案为：（1，3）或（3，1）．

点评：本题考查了圆的综合应用；有函数参与的几何题往往要找出等量关系后利用函数的解析式列方程进行解答，这种数形结合的思想非常重要，要认真掌握．