Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC于点D，点E在边AB上运动，过点E作EF∥BC与边AC交于点F，连结FD，以EF、FD为邻边作▱EFDG，当▱EFDG与△ABC重叠部分为△ABC的面积的时，线段EF的长为　　　　　　．

　

Answer 1

　6﹣2或3+　．

【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

【分析】由FE与BC平行，得到△AFE与△形ABC相似，根据相似三角形的性质即可得到结论，注意对重叠部分形状进行分类讨论．

【解答】解：∵AB=AC=10，BC=12，AD⊥BC，

∴BD=BC=6，

∴AD==8，

∴S_△ABC=×12×8=48，

∵▱EFDG与△ABC重叠部分为△ABC的面积的，

∴S_{四边形EFDG}=48=16，

设AD，EF交于H，

∵FE∥BC，

∴△AFE∽△ABC，

∴==，

∴AH=，

∴HD=8﹣，

①当重叠面积为平行四边形时（如图），

S_重叠=S_{四边形EFDG}=EF•DH=EF（8﹣）=16，

∴EF=6﹣2（6+2不合题意，舍去），

②当重叠面积为梯形时（如图）

S_重叠=S_梯形EFDB==16

解得EF=3+（3﹣不合题意，舍去）；

故答案为：6﹣2或3+．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．