Question

如图，抛物线与x轴交于A（－1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，－3），设抛物线的顶点为D

【小题1】求该抛物线的解析式与顶点D的坐标
【小题2】以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？
【小题3】探究轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

【小题1】设该抛物线的解析式为，
由抛物线与y轴交于点C（0，－3）,可知. （1分）
即抛物线的解析式为．                
把A（－1，0）、B（3，0）代入, 得 
解得.（3分）∴抛物线的解析式为y = x²－2x－3．  
∴顶点D的坐标为
【小题2】以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形. （5分）理由如下：
过点D分别作轴、轴的垂线，垂足分别为E、F.
在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，

∴.在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF－OC=4－3=1，
∴.在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB－OE=3－1=2，
∴. 
∴，故△BCD为直角三角形.（7分）
【小题3】符合条件的点有二个：P₁（0，0），P₂（9，0）解析:
略