Question

【题目】如图，点是线段上的任意一点(点不与点重合)，分别以为边在直线的同侧作等边三角形和等边三角形，与相交于点，与相交于点．

(1)求证: ；

(2)求证: ；

(3)若的长为12cm，当点在线段上移动时，是否存在这样的一点，使线段的长度最长?若存在,请确定点的位置并求出的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2) 见解析；(3) 存在,请确定C点的位置见解析，MN=3．

【解析】

（1）根据题意证明△DCB≌△ACE即可得出结论；

（2）由题中条件可得△ACE≌△DCB，进而得出△ACM≌△DCN，即CM=CN，△MCN是等边三角形，即可得出结论；

（3）可先假设其存在，设AC=x，MN=y，进而由平行线分线段成比例即可得出结论．

解：（1）∵△ACD与△BCE是等边三角形，

∴AC=CD，CE=BC，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE与△DCB中，

，

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴DB=AE；

（2）∵△ACE≌△DCB，

∴∠CAE=∠BDC，
在△ACM与△DCN中，

，

∴△ACM≌△DCN，
∴CM=CN，
又∵∠MCN=180°-60°-60°=60°，
∴△MCN是等边三角形，
∴∠MNC=∠NCB=60°
即MN∥AB；

（3）解：假设符合条件的点C存在，设AC=x，MN=y，
∵MN∥AB，

∴，

即，

，

当x=6时，ymax=3cm，

即点C在点A右侧6cm处，且MN=3．