Question

如图，在平面直角坐标系中，点A(0，6)，点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90°，得到线段BC过点B作x轴的垂线交直线AC于点D设点B坐标是(t，0)．

(1)当t＝4时，求直线AB的解析式；

(2)当t＞0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；

(3)是否存在点B，使△ABD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)当t＝4时，B(4，0) 　　设直线AB的解析式为y＝kx＋b． 　　把A(0，6)，B(4，0)代入得： 　　，解得：， 　　∴直线AB的解析式为：y＝－x＋6．　4分 　　(2)过点C作CE⊥x轴于点E 　　由∠AOB＝∠CEB＝90°，∠ABO＝∠BCE，得△AOB∽△BEC 　　∴， 　　∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝， 　　∴点C的坐标为(t＋3，)．　6分 　　方法一： 　　S梯形AOEC＝OE·(AO＋EC)＝(t＋3)(6＋)＝t2＋t＋9， 　　S△AOB＝AO·OB＝×6·t＝3t， 　　S△BEC＝BE·CE＝×3×＝t， 　　∴S△ABC＝S梯形AOEC－S△AOB－S△BEC 　　＝t2＋t＋9－3t－t＝t2＋9． 　　方法二： 　　∵AB⊥BC，AB＝2BC，∴S△ABC＝AB·BC＝BC2． 　　在Rt△ABC中，BC2＝CE2＋BE2＝t2＋9， 即S△ABC＝t2＋9．　8分 　　(3)存在，理由如下： 　　①当t≥0时． 　　Ⅰ．若AD＝BD 　　又∵BD∥y轴 　　∴∠OAB＝∠ABD，∠BAD＝∠ABD， 　　∴∠OAB＝∠BAD 　　又∵∠AOB＝∠ABC， 　　∴△ABO∽△ACB， 　　∴， 　　∴＝， 　　∴t＝3，即B(3，0)． 　　Ⅱ．若AB＝AD 　　延长AB与CE交于点G， 　　又∵BD∥CG 　　∴AG＝AC 　　过点A画AH⊥CG于H． 　　∴CH＝HG＝CG 　　由△AOB∽△GEB， 　　得， 　　∴GE＝． 　　又∵HE＝AO＝6，CE＝ 　　∴＋6＝×(＋) 　　∴t2－24t－36＝0 　　解得：t＝12±6．因为t≥0， 　　所以t＝12＋6，即B(12＋6，0)． 　　Ⅲ．由已知条件可知，当0≤t＜12时，∠ADB为钝角，故BD≠AB 　　当t≥12时，BD≤CE＜BC＜AB 　　∴当t≥0时，不存在BD＝AB的情况． 　　②当－3≤t＜0时，如图，∠DAB是钝角．设AD＝AB， 　　过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F． 　　可求得点C的坐标为(t＋3，)， 　　∴CF＝OE＝t＋3，AF＝6－， 　　由BD∥y轴，AB＝AD得， 　　∠BAO＝∠ABD，∠FAC＝∠BDA，∠ABD＝∠ADB 　　∴∠BAO＝∠FAC， 　　又∵∠AOB＝∠AFC＝90°， 　　∴△AOB∽△AFC， 　　∴， 　　∴， 　　∴t2－24t－36＝0 　　解得：t＝12±6．因为－3≤t＜0， 　　所以t＝12－6，即B(12－6，0)． 　　③当t＜－3时，如图，∠ABD是钝角．设AB＝BD， 　　过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F， 　　可求得点C的坐标为(t＋3，)， 　　∴CF＝(t＋3)，AF＝6－， 　　∵AB＝BD，∴∠D＝∠BAD． 　　又∵BD∥y轴， 　　∴∠D＝∠CAF， 　　∴∠BAC＝∠CAF． 　　又∵∠ABC＝∠AFC＝90°，AC＝AC， 　　∴△ABC≌△AFC， 　　∴AF＝AB，CF＝BC， 　　∴AF＝2CF，即6－＝－2(t＋3)， 　　解得：t＝－8，即B(－8，0)． 　　综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，此时点B坐标为： 　　B1(3，0)，B2(12＋6，0)，B3(12－6，0)，B4(－8，0)．　14分