题目内容

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²+3x+5+m与x轴交于A、B两点（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C（0，4），D为OC的中点．
（1）求m的值；
（2）抛物线的对称轴与 x轴交于点E，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、B、F为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△GBC中BC边上的高为 $数学公式$ ？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）抛物线y=mx²+3m+5+m与y轴交于点C（0，4），
∴5+m=4．
∴m=-1．

（2）抛物线的解析式为 y=-x²+3x+4．
可求抛物线与x轴的交点A（-1，0），B（4，0）．
可求点E的坐标 $\text{[math]}$ ．
由图知，点F在x轴下方的直线AD上时，△ABF是钝角三角形，不可能与△ADE相似，所以点F一定在x轴上方．
此时△ABF与△ADE有一个公共角，两个三角形相似存在两种情况：
①当 $\text{[math]}$ 时，由于E为AB的中点，此时D为AF的中点，
可求 F点坐标为（1，4）．
②当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
解得：AF= $\text{[math]}$ ．
如图（2）过F点作FH⊥x轴，垂足为H．

∴ $\text{[math]}$ ．
∵D是OC的中点，
∴OD=2，
∴由勾股定理得：
AD= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴OH= $\text{[math]}$ ，
由勾股定理得：
FH= $\text{[math]}$ =5
∴F的坐标为（ $\text{[math]}$ ，5）

（3）在抛物线的对称轴上存在符合题意的点G．
由题意，可知△OBC为等腰直角三角形，直线BC为y=-x+4．
如图（3）∵MQ∥BC，QP= $\text{[math]}$ ，由勾股定理，得
∴CQ=5
∴可求与直线BC平行且距离为 $\text{[math]}$ 的直线为y=-x+9或y=-x-1．
∴点G在直线y=-x+9或y=-x-1上．
∵抛物线的对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
∴点G的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由抛物线y=mx²+3m+5+m与y轴交于点C（0，4），把C点的坐标代入解析式建立方程，求出方程的解，就可以求出m的值．
（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，根据抛物线的对称性求出E点的坐标，然后根据对应角不同的情况就可以求出F的不同坐标．
（3）先由待定系数法求出直线BC的解析式，然后由题目的条件求出与直线BC平行且距离为 $\text{[math]}$ 的直线的解析式，再由抛物线的对称轴与这些与BC平行的直线的解析式构建方程组求出其解，就可以求出G的坐标．
点评：本题考查了两条直线相交或平行的问题，待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的运用．