Question

已知如图1，线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”。如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N。试解答下列问题：
（1） 在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：（        ）；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：（       ）个；
（3）在图2中，若∠D=40^。，∠B=36^。，试求∠P的度数；
（4）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系。（直接写出结论即可）

Answer 1

解：（1）结论：∠A+∠D=∠C+∠B；（2）六个；
        （3）如图，
               因为AP平分∠DAB 、CP平分∠DCB 所以 ∠1=∠2 ∠3=∠4
               由图可得，∠1+∠D=∠P+∠3 ①
                                 ∠2+P=∠4+∠B②
                ① -②得，∠D-∠P=∠P-∠B 所以∠P=(∠D+∠B) 因为∠D=40^。 ∠B=36^。
               所以∠P=(∠D+∠B)=（40^。+36^。）=38^。
        （4）结论：∠P=(∠D+∠B)