题目内容
（2008•青岛）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4 cm，BC=3 cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC；
（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】分析：（1）当PQ∥BC时，我们可得出三角形APQ和三角形ABC相似，那么可得出关于AP，AB，AQ，AC的比例关系，我们观察这四条线段，已知的有AC，根据P，Q的速度，可以用时间t表示出AQ，BP的长，而AB可以用勾股定理求出，这样也就可以表示出AP，那么将这些数值代入比例关系式中，即可得出t的值．
（2）求三角形APQ的面积就要先确定底边和高的值，底边AQ可以根据Q的速度和时间t表示出来．关键是高，可以用AP和∠A的正弦值来求．AP的长可以用AB-BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ边上的高后，就可以得出y与t的函数关系式．
（3）如果将三角形ABC的周长和面积平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的长，那么可以求出此时t的值，我们可将t的值代入（2）的面积与t的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是三角形ABC面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻．
（4）我们可通过构建相似三角形来求解．过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PNCM就是个矩形，解题思路：通过三角形BPN和三角形ABC相似，得出关于BP，PN，AB，AC的比例关系，即可用t表示出PN的长，也就表示出了MC的长，要想使四边形PQP'C是菱形，PQ=PC，根据等腰三角形三线合一的特点，QM=MC，这样有用t表示出的AQ，QM，MC三条线段和AC的长，就可以根据AC=AQ+QM+MC来求出t的值．求出了t就可以得出QM，CM和PM的长，也就能求出菱形的边长了．
解答：
解：（1）在Rt△ABC中，AB=
，
由题意知：AP=5-t，AQ=2t，若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，
∴
=
，∴
=
，
∴t=
．所以当t=
时，PQ∥BC．
（2）过点P作PH⊥AC于H．
∵△APH∽△ABC，
∴
=
，
∴
=
，
∴PH=3-
t，
∴y=
×AQ×PH=
×2t×（3-
t）=-
t2+3t．
（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．
∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t），解得t=1．
若PQ把△ABC面积平分，则S△APQ=
S△ABC，即-
+3t=3．
∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．
（4）过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，
若四边形PQP'C是菱形，那么PQ=PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴
=
，∴
=
，
∴PN=
，
∴QM=CM=
，
∴
t+
t+2t=4，解得：t=
．
∴当t=
s时，四边形PQP'C是菱形．
此时PM=3-
t=
cm，CM=
t=
cm，
在Rt△PMC中，PC=
=
=
cm，
∴菱形PQP′C边长为
cm．
点评：本题图形结合的动态题，是近几年考试热点，同时考查三角形相似知识，是一道很好的综合题．本题亮点是巧妙结合图形综合考查不同知识点．
（2）求三角形APQ的面积就要先确定底边和高的值，底边AQ可以根据Q的速度和时间t表示出来．关键是高，可以用AP和∠A的正弦值来求．AP的长可以用AB-BP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ边上的高后，就可以得出y与t的函数关系式．
（3）如果将三角形ABC的周长和面积平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的长，那么可以求出此时t的值，我们可将t的值代入（2）的面积与t的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是三角形ABC面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻．
（4）我们可通过构建相似三角形来求解．过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，那么PNCM就是个矩形，解题思路：通过三角形BPN和三角形ABC相似，得出关于BP，PN，AB，AC的比例关系，即可用t表示出PN的长，也就表示出了MC的长，要想使四边形PQP'C是菱形，PQ=PC，根据等腰三角形三线合一的特点，QM=MC，这样有用t表示出的AQ，QM，MC三条线段和AC的长，就可以根据AC=AQ+QM+MC来求出t的值．求出了t就可以得出QM，CM和PM的长，也就能求出菱形的边长了．
解答：
解：（1）在Rt△ABC中，AB=
，由题意知：AP=5-t，AQ=2t，若PQ∥BC，则△APQ∽△ABC，
∴
=
，∴
=
，∴t=
．所以当t=
时，PQ∥BC．（2）过点P作PH⊥AC于H．
∵△APH∽△ABC，
∴
=
，∴
=
，∴PH=3-
t，∴y=
×AQ×PH=
×2t×（3-
t）=-
t2+3t．（3）若PQ把△ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ．
∴（5-t）+2t=t+3+（4-2t），解得t=1．
若PQ把△ABC面积平分，则S△APQ=
S△ABC，即-
+3t=3．∵t=1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．
（4）过点P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，
若四边形PQP'C是菱形，那么PQ=PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴
=
，∴
=
，∴PN=
，∴QM=CM=
，∴
t+
t+2t=4，解得：t=
．∴当t=
s时，四边形PQP'C是菱形．此时PM=3-
t=
cm，CM=
t=
cm，在Rt△PMC中，PC=
=
=
cm，∴菱形PQP′C边长为
cm．点评：本题图形结合的动态题，是近几年考试热点，同时考查三角形相似知识，是一道很好的综合题．本题亮点是巧妙结合图形综合考查不同知识点．
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