Question

【题目】我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

（1）已知：如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝75°，∠D＝85°，则∠C＝　 　．

（2）已知：在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3．求对角线AC的长．

（3）已知：如图2，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），点D在y轴上，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）过点A、D，且当﹣2≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+c取最大值为3，求二次项系数a的值．

Answer 1

【答案】（1）115°；（2）AC的长为或；（3）a＝﹣或﹣1﹣

【解析】

（1）∠B=∠D=85°，则∠C=360°-2×85°-75°=115°，即可求解；

（2）①如图1，AE=8，DE=5，可求出，则AC可求出；②如图2，同理可得BC=BF+CF，则由勾股定理可求出AC的长；

（3）由条件可得出∠ADC=∠ABC=90°，求得D（0，2），代入A，D两点的坐标，可求出抛物线的解析式为y=ax2+（2a+1）x+2，分两种情况考虑：在x=2时，函数y=ax2+（2a+1）x+2取得最大值为3，可求得，当-2≤x≤2时，在顶点处取得最大值，可求出

解：（1）∠B＝∠D＝85°，则∠C＝360°﹣2×85°﹣75°＝115°，

故答案为115°；

（2）①如图1，∠B＝∠D＝90°时，延长AD，BC交于点E，

∵∠DAB＝60°，

∴∠E＝30°，

又∵AB＝4，AD＝3

∴BE＝4，AE＝8，DE＝5，

∴，

∴BC＝BE﹣CE＝4﹣，

∴＝＝，

②如图，∠A＝∠C＝60°时，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥BC于点F，

∵∠DAB＝∠BCD＝60°，

又∵AB＝4，AD＝3，

∴，DE＝BF＝，

∴，

∴，

∴BC＝CF+BF＝，

∴＝，

综合以上可得AC的长为或．

（3）∵A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），

∴AB＝2，BC＝2，AC＝4，

∴AB2+BC2＝AC2，

∴∠ABC＝90°，

∵AD＝CD，AB≠BC，

∴∠BAD≠∠BCD，

∵四边形ABCD是“等对角四边形”

∴∠ADC＝∠ABC＝90°，

∴D（0，2）

∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣2，0）、D（0，2），

∴，

解得：c＝2，b＝2a+1，

∴抛物线的解析式为y＝ax2+（2a+1）x+2，

若x＝2时，函数y＝ax2+（2a+1）x+2取得最大值为3，

∴4a+4a+2+2＝3，

∴a＝﹣，

此时抛物线的对称轴为x＝3，

∴满足题意，

若二次函数y＝ax2+（2a+1）x+2在顶点取得最大值3，则有：

，

解得：a＝﹣1+或a＝﹣1﹣，

当a＝﹣1+时，对称轴在直线x＝2的右侧，不合题意，舍去，

∴，

综合以上可得a＝﹣或﹣1﹣．