题目内容

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+2与x轴正半轴交与点C，与y轴正半轴交于点A，以AC为直角边，点C为直角顶点作一个等腰直角三角形ABC，抛物线y=ax²-ax-2经过点B，点M是直线BC上一个动点（点M可与B、C重合），过点M作y轴的平行线交抛物线于点N．
（1）求经过点B的反比例函数解析式．
（2）求BC所在直线的解析式．
（3）当点M在线段BC上运动时，线段MN的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵y=-2x+2，
∴当x=0时，y=2，即A点坐标为（0，2），
当y=0时，x=1，即C点坐标为（1，0）．
过点B作BD⊥x轴，垂足为D．
在△BCD与△CAO中，
$\text{[math]}$ ，
∴△BCD≌△CAO，
∴BD=CO=1，CD=AO=2，
∴B点坐标为（3，1），
∴经过点B的反比例函数解析式为y= $\text{[math]}$ ；

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，
将B（3，1），C（1，0）代入，
得 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线BC的解析式为y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ；

（3）∵抛物线y=ax²-ax-2经过点B（3，1），
∴9a-3a-2=1，解得a= $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2．
∵MN∥y轴，∴可设M（x，y₁），N（x，y₂），
∵点M在线段BC上，∴y₁= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
N在抛物线上，∴y₂= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2，
∴MN=y₁-y₂
=（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ）-（ $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2）
=- $\text{[math]}$ x²+x+ $\text{[math]}$
=- $\text{[math]}$ （x-1）²+2，
∵- $\text{[math]}$ ＜0，
∴当x=1时，线段MN的长度有最大值2．
分析：（1）先由直线AC的解析式为y=-2x+2，求出与y轴交点A、与x轴交点C的坐标，再过点B作BD⊥x轴于点D，利用AAS证明△BCD≌△CAO，根据全等三角形对应边相等得出BD=CO=1，CD=AO=2，则B点坐标为（3，1），进而得到经过点B的反比例函数的解析式；
（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，将B，C两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式为y= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ；
（3）先将点B的坐标代入y=ax²-ax-2，求出抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2，再由MN∥y轴，设M（x，y₁），N（x，y₂），由点M在线段BC上，得出y₁= $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，由点N在抛物线上，得出y₂= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2，则MN=y₁-y₂=- $\text{[math]}$ （x-1）²+2，根据二次函数的性质，即可求出线段MN的长度的最大值．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求反比例函数、一次函数、二次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，平行于坐标轴上的点的坐标特征，二次函数最值的求法，综合性较强，难度中等．本题第（3）问中，在设出M（x，y₁），N（x，y₂）两点的坐标之后，用含x的代数式表示MN的长度是解题的关键．