Question

如图，△ABC内接于⊙O，OC和AB相交于点E，点D在OC的延长线上，且∠B=∠D=∠BAC=30°．

（1）试判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）AB=6，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：

切线的判定；解直角三角形．

分析：

（1）连接OA，求出∠AOC=2∠B=60°，根据三角形内角和定理求出∠OAD，根据切线判定推出即可；

（2）求出∠AEC=90°，根据垂径定理求出AE，根据锐角三角函数的定义即可求出AC，根据等边三角形的性质推出即可．

解答：

解：（1）直线AD与⊙O相切．理由如下：

如图，连接OA．

∵∠B=30°，

∴∠AOC=2∠B=60°，

∴∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠D=90°，

即OA⊥AD，

∵OA为半径，

∴AD是⊙O的切线．

（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，

∴△ACO是等边三角形，

∴∠ACO=60°，AC=OA，

∴∠AEC=180°﹣∠EAC﹣∠ACE=90°，

∴OC⊥AB，

又∵OC是⊙O的半径，

∴AE=AB=6=3，

在Rt△ACE中，sin∠ACE==sin 60°，

∴AC=6，

∴⊙O的半径为6．

点评：

本题考查了切线的判定，含30度角的直角三角形，锐角三角函数的定义，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生综合运用性质进行推理的能力．