题目内容

已知M，N为正整数，并且A=（1- $数学公式$ ）（1+ $数学公式$ ）（1- $数学公式$ ）（1+ $数学公式$ ）…（1- $数学公式$ ）（1+ $数学公式$ ），B=（1- $数学公式$ ）（1+ $数学公式$ ）（1- $数学公式$ ）（1+ $数学公式$ ）…（1- $数学公式$ ）（1+ $数学公式$ ）．
证明：（1）A= $数学公式$ ，B= $数学公式$ ．
（2）A-B= $数学公式$ ，求m和n的值．

解：（1）原式= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×…× $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
同理得B= $\text{[math]}$ ；
（2）∵A-B= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵m，n均为正整数，
∴n＞m，
∵n-m与mn互质，13又是质数，
∴m，n中至少有一个是13的倍数，设n=13k（k∈N⁺）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
13k-m=km，
m= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =13- $\text{[math]}$ ，
∵k与k+1互质，m∈N⁺，
∴有k+1整除13，得到：k=12，
∴n=13×12=156，m=12，
当m=13k时，n= $\text{[math]}$ ＜0（k∈N⁺），矛盾．
∴n=156，m=12．
分析：（1）每个括号的结果都是一个分数，这几个分数相乘后，只剩下第一个和最后一个分数没有化简，相乘即可，依此方法可得B的值；
（2）根据（1）得到的规律，得到关于m，n的式子，易得m，n中有一个是13的倍数，根据互质的原则判断出相应的整数解即可．
点评：考查数字的变化规律及应用规律进行计算；判断出各个数相乘的结果最后只剩第一个分数与最后一个分数相乘，是解决本题的突破点；判断出m，n中有一个数是13的倍数是解决本题的难点．