Question

如图所示，点D₁是△ABC的内角∠ABC与外角∠ACF的角平分线的交点，点D₂是∠D₁BC与∠D₁CF的角平分线的交点，以此类推，D_n是∠D_n-1BC与∠D_n-1CF的角平分线的交点．若∠A=x°，则∠D_n=

 

（用含x的代数式表示）

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：根据外角与内角的关系就可以得出∠ACF=∠A+∠ABC．由角平分线的性质就可以得出∠D₁=∠D₁CF-∠CBD₁=

1

2

（∠A+∠ABC）-

1

2

∠ABC就可以表示出∠D₁，再由∠D₁CF=∠D₁+∠D₁BF，由角平分线的性质就可以而出∠D₂=∠D₂CF-∠D₂BC=

1

2

（=∠D₁+∠D₁BF）-

1

2

+∠D₁BC就可以表示出∠D₂，同样的方法可以表示出∠D₃…∠D_n．

解答：解：∵BD₁平分∠ABC，CD₁平分∠ACF，
∴∠D₁CF=

1

2

∠ACF，∠CBD₁=

1

2

∠ABC，
∵∠ACF=∠A+∠ABC
∴

1

2

∠ACF=

1

2

（∠A+∠ABC）．
∵∠D₁=∠D₁CF-∠CBD₁，
∴∠D₁=

1

2

（∠A+∠ABC）-

1

2

∠ABC，
∴∠D₁=

1

2

∠A．
∵∠A=x°，
∴∠D₁=

1

2

x°．
∵BD₂平分∠D₁BC，CD₂平分∠D₁CF，
∴∠D₂CF=

1

2

∠D₁CF，∠CBD₂=

1

2

∠D₁BC．
∵∠D₁CF=∠D₁BC+∠D₁，
∴

1

2

∠D₁CF=

1

2

（∠D₁BC+∠D₁），
∵∠D₂=∠D₂CF-∠CBD₂，
∴∠D₂=

1

2

（∠D₁BC+∠D₁）-

1

2

∠D₁BC，
∴∠D₂=

1

2

∠D₁．
∵∠D₂=

1

2

x°，
∴∠D₂=

1

4

x°=

1

22

x°；
以此类推：∴∠D₃=

1

8

x°=

1

23

x°．
∴∠Dn=

1

2n

x°．
故答案为：

1

2n

x°．

点评：本题考查了外角与内角的关系的运用，角平分线的性质的运用，三角形内角和定理的运用，规律型试题的探究的运用，解答时灵活运用外角与内角的关系求解是关键．