Question

如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF．设=k，下列结论：（1）△ABE∽△ECF，（2）AE平分∠BAF，（3）当k=1时，△ABE∽△ADF，其中结论正确的是（　　）

A．（1）（2）（3）     B．（1）（3）         C．（1）（2）         D．（2）（3）

 

Answer 1

【答案】

C

【解析】

试题分析：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，

∵EF⊥AE，

∴∠AEB+∠FEC=90°，

∴∠BAE=∠FEC，

∴△ABE∽△ECF；

故（1）正确；

（2）∵△ABE∽△ECF，

∴，

∵E是BC的中点，

即BE=EC，

∴，

在Rt△ABE中，tan∠BAE=，

在Rt△AEF中，tan∠EAF=，

∴tan∠BAE=tan∠EAF，

∴∠BAE=∠EAF，

∴AE平分∠BAF；

故（2）正确；

（3）∵当k=1时，即=1，

∴AB=AD，

∴四边形ABCD是正方形，

∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，

∵△ABE∽△ECF，

∴，

∴CF=CD，

∴DF=CD，

∴AB：AD=1，BE：DF=2：3，

∴△ABE与△ADF不相似；

故（3）错误．

故选C．

考点：相似三角形的判定与性质；矩形的性质．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的判定与性质以及三角函数的定义．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．