Question

【题目】一个抛物线形状与二次函数y＝x2的图象形状和顶点相同，但开口方向不同．

（1）求抛物线解析式．

（2）如果该抛物线与一次函数y＝kx﹣2相交于A、B两点，已知A点的纵坐标为﹣1，求△OAB的面积．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2；（2）3．

【解析】

（1）由图象形状和顶点相同，但开口方向不同可知二次项系数a互为相反数即可得出函数解析式.
（2）利用抛物线解析式和点A的纵坐标求出A的坐标，把A的坐标代入y=kx-2，根据待定系数法求得解析式，然后解析式联立求得B的坐标，利用S△OAB=S△AOG+S△BOG求解即可．

解：（1）形状与二次函数y＝x2的图象形状和顶点相同，但开口方向不同，

此抛物线解析式为y＝﹣x2．

（2）∵A点的纵坐标为﹣1，

把y＝﹣1代入y＝﹣x2，解得x＝±1，

∴A（1，﹣1）或（﹣1，﹣1）

把A（1，﹣1）代入y＝kx﹣2得，﹣1＝k﹣2，

解得k＝1，

把A（﹣1，﹣1）代入y＝kx﹣2得﹣1＝﹣k﹣2，

解得k＝﹣1，

∴一次函数表达式为y＝x﹣2或y＝-x﹣2，

∴令x＝0，得y＝﹣2，

∴G（0，﹣2），

I.当一次函数表达式为y＝﹣x﹣2时，

由一次函数与二次函数联立可得，

解得或，

∴B（2，﹣4），

∴S△OAB＝S△AOG+S△BOG＝＝3，

II.同理证得当一次函数表达式为y＝x﹣2时，S△OAB＝3，

故△OAB的面积为3．