题目内容
【题目】已知抛物线C1：y=ax2+bx﹣ 
（a≠0）经过点A（1，0）和B（﹣3，0）．
（1）求抛物线C1的解析式，并写出其顶点C的坐标．
（2）如图1，把抛物线C1沿着直线AC方向平移到某处时得到抛物线C2 ， 此时点A，C分别平移到点D，E处．设点F在抛物线C1上且在x轴的上方，若△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，求点F的坐标．
（3）如图2，在（2）的条件下，设点M是线段BC上一动点，EN⊥EM交直线BF于点N，点P为线段MN的中点，当点M从点B向点C运动时：①tan∠ENM的值如何变化？请说明理由；②点M到达点C时，直接写出点P经过的路线长．
【答案】
（1）解：∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣ 
（a≠0）经过点A（1，0）和B（﹣3，0），
∴ 
解得 
，
∴抛物线C1的解析式为y= 
x2+x﹣ ，
∵y= x2+x﹣ = （x+1）2﹣2，
∴顶点C的坐标为（﹣1，﹣2）；
（2）解：如图1，作CH⊥x轴于H，
∵A（1，0），C（﹣1，﹣2），
∴AH=CH=2，
∴∠CAB=∠ACH=45°，
∴直线AC的解析式为y=x﹣1，
∵△DEF是以EF为底的等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°，
∴∠DEF=∠ACH，
∴EF∥y轴，
∵DE=AC=2 
，
∴EF=4，
设F（m， m2+m﹣ ），则E（m，m﹣1），
∴（﹣ m2+m﹣ ）﹣（m﹣1）=4，
解得m=﹣3（舍）或m=3，
∴F（3，6）；
（3）解：①tan∠ENM的值为定值，不发生变化；
如图2中，作EG⊥AC，交BF于G，
∵DF⊥AC，BC⊥AC，
∴DF∥BC，
∵DF=BC=AC，
∴四边形DFBC是平行四边形，
∵∠CDF=90°，
∴四边形DFBC是矩形，
∴EG=BC=AC=2 ，
∵EN⊥EM，
∴∠MEN=90°，
∵∠CEG=90°，
∴∠CEM=∠NEG，
∴△ENG∽△EMC，
∴ 
= 
，
∵F（3，6），EF=4，
∴E（3，2），
∵C（﹣1，﹣2），
∴EC=4 ，
∴ = 
=2，
∴tan∠ENM= =2；
∵tan∠ENM的值为定值，不发生变化；
②如图3﹣1中，
∵直角三角形EMN中，PE= MN，直角三角形BMN中，PB= MN，
∴PE=PB，
∴点P在EB的垂直平分线上，
∴点P经过的路径是线段PP′，如图3﹣2，
当点M与B重合时，
∵△EGN∽△ECB，
∴ 
= 
，
∵EC=4 ，EG=BC=2 ，
∴EB=2 
，
∴ 
= 
，
∴EN= ，
∵P1P2是△BEN的中位线，
∴P1P2= EN= 
；
∴点M到达点C时，点P经过的路线长为 ．
【解析】（1）用待定系数法即可求得解析式，把解析式化为顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据A、C点的坐标求得直线AC的解析式为y=x﹣1，根据题意的EF=4，求得EF∥y轴，设F（m， m2+m﹣ ），则E（m，m﹣1），从而得出（﹣ m2+m﹣ ）﹣（m﹣1）=4，解方程即可求得F的坐标；（3）先求得四边形DFBC是平行矩形，作EG⊥AC，交BF于G，然后判断出△ENG∽△EMC，根据相似三角形的性质对应边成比例即可求得tan∠ENM的值，②首先证明点P在EB的垂直平分线上，推出点P经过的路径是线段PP，当点M与B重合时，根据勾股定理和三角形相似求得EN，然后根据三角形中位线定理即可求得。
