Question

已知：抛物线 的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B
在点C的左侧）.
(1)直接写出抛物线对称轴方程；
（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；
（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出a，b满足的关系式；若不能，说明理由.

Answer 1

解：（1）抛物线对称轴方程：.           ………2分
（2）设直线与轴交于点E,则E（2,0）.
∵抛物线经过原点， ∴B(0,0),C(4,0).        ………3分
∵△ABC为直角三角形，根据抛物线的对称性可知,
∴,
∴A(2,-2)或(2,2).
当抛物线的顶点为A(2,-2)时，，把(0,0)代入，得：，此时，.                               ………5分
当抛物线的顶点为A(2,2)时，，把(0,0)代入，得：，此时，.
∴，或，. ………7分
（3）依题意，B、C关于点E中心对称，当A,D也关于点E对称，且时，四边形ABDC是正方形.
∵，  ∴，  ∴，
把代入，得     ，
∵，   ∴.                               ………10分

解析