Question

已知：抛物线的顶点为A（1，0）
（1）求F₁的函数解析式；
（2）如图，直线交x轴于点C，交y轴于点D，在抛物线F₁上有一点B，且点B与点A关于直线对称，若抛物线F₂的顶点为点B，且经过点A，试求抛物线F₂的函数解析式；
（3）将（2）中求得的抛物线F₂向左平移n个单位得抛物线F₃，抛物线F₃的顶点为点P，是否存在n使得tan∠BAP=？若存在试求n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设F₁的函数解析式为y=（x-h）²+k，
∵抛物线的顶点为A（1，0）
∴y=（x-1）²+0
即F₁的解析式为：；

（2）如图，设直线交x轴于点C，交y轴于点D，那么CD垂直平分AB．
当y=0时，x=-2b，即C（-2b，0）．
当x=0时，y=b，即D（0，b）．
则OC=2b，OD=b．
易证△ABE∽△CDO，故=，
∴BE=2AE，
∴直线AB为y=-2x+2，
∴根据题意得：
解得：（不合题意，舍去）或
∴点B的坐标为（-1，4）．
∵抛物线F₂的顶点为点B，
∴设F₂的函数解析式为y=a（x+1）²+4．
又∵抛物线F₂经过点A（1，0），
∴F₂的函数解析式为0=a（1+1）²+4，
解得：a=-1，
∴

（3）存在n使得tan∠BAP=．理由如下：
如图3，过点B作BF⊥AP于点F，过点F作直线FG⊥x轴于点G，交BP于点H．
易证△BHF∽△FGA，则，又FG+FH=4，AG-BH=2，故可求得F，
故直线AF的解析式为，
又由于点P的纵坐标为4，故P（-7，4），得n=6．
分析：（1）设F₁的函数解析式为y=（x-h）²+k，然后将顶点坐标代入即可求解；
（2）设直线交x轴于点C，交y轴于点D，那么CD垂直平分AB，不难证明△ABE∽△CDO，由于OC=2b，OD=b，故BE=2AE，可求得直线AB为y=-2x+2，与F₁联立可求得点B的坐标为（-1，4），故可得抛物线的解析式；
（3）如图，过点B作BF⊥AC于点F，过点F作FD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥DF于点E，易证△BEF∽△FDA，则，又FE+FD=4，AD-BE=2，故可求得F，故直线AF的解析式为，又由于点P的纵坐标为4，故P（-7，4），得n=6．
点评：本题考查了二次函数综合题．此题涉及到的知识点有：待定系数法求二次函数、一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，平移的性质等．解答（3）题，注意构造相似三角形的辅助线的作法．