题目内容

如图所示，在△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于D．∠B的平分线分别与AD、AC交于E，F，H为EF的中点．
（1）求证：AH⊥EF；
（2）设△AHF、△BDE、△BAF的周长为c_l、c₂、c₃．试证明： $数学公式$ ，并指出等号成立时 $数学公式$ 的值．

证明：（1）∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠AFB=90°-∠ABF，∠AEF=∠BED=90°-∠EBD，
又BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠DBF，
∵∠AFB=∠AEF，
∴AE=AF，H为EF的中点，∴AH⊥EF；

（2）设 $\text{[math]}$ ，
∵∠AFH=∠BED，∴Rt△AHF∽Rt△BED∽Rt△BAF，
∴ $\text{[math]}$ ，
而BE=BF-2HF=x-2k•AF=x-2k²x=（1-2k²）x，
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
故当 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据∠BAC=90°，AD⊥BC，则∠AFB=90°-∠ABF，∠AEF=∠BED=90°-∠DEB，再由BF平分∠ABC，则∠ABF=∠EBD，从而得出AE=AF，根据等腰三角形的性质即可证明AH⊥EF；
（2）设 $\text{[math]}$ ，可证明Rt△AHF∽Rt△BED∽Rt△BAF，则得出 $\text{[math]}$ ，再根据三角形的周长得出c_l、c₂、c₃．的关系式，并得出当k= $\text{[math]}$ 时，等号成立，即为 $\text{[math]}$ 的值．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，是中考压轴题，难度较大．