Question

【题目】如图，已知，以为直径作半圆，半径绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，当点与点重合时停止．连接并延长到点，使得，过点作于点，连接，．

（1）______；

（2）如图，当点与点重合时，判断的形状，并说明理由；

（3）如图，当时，求的长；

（4）如图，若点是线段上一点，连接，当与半圆相切时，直接写出直线与的位置关系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是等边三角形，理由见解析；（3）的长为或；（4）

【解析】

(1)先证AC垂直平分DB,即可证得AD=AB;

(2)先证AD=BD,又因为AD=AB,可得△ABD是等边三角形；

(3)分当点在上时和当点在上时，由勾股定理列方程求解即可；

(4)连结OC,证明OC∥AD, 由与半圆相切，可得∠OCP=90°,即可得到与的位置关系.

解：（1）∵为直径，

∴∠ACB=90°,

又∵

∴AD=AB

∴，

故答案为10；

（2）是等边三角形，

理由如下：∵点与点重合，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴是等边三角形；

（3）∵，∴，

当点在上时，

则，，∵，，

∴在和中，

由勾股定理得，即，

解得，∴；

当点在上时，同理可得，

解得，∴，

综上所述，的长为或；

（4）.

如图，连结OC，

∵与半圆相切，

∴OC⊥PC,

∵△ADB为等腰三角形，,

∴∠DAC=∠BAC,

∵AO=OC

∴∠CAO=∠ACO,

∴∠DAC=∠ACO,

∴OC∥AD,

∴.